Étude d'une fonction : Exercice 1

Étude d'une fonction 

 Exercice 1 : Soit \( f \) une fonction définie par : \[ f(x) = \frac{x + \sqrt{x}}{x - 1} \] 

 1. Déterminer \( D_f \) de la fonction \( f \). 

 2. Calculer \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) \] puis donner une interprétation géométrique du résultat. 

 3. Montrer que : \[ f(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}(1 - \frac{1}{x})} \] pour tout \( x \) de \( D_f \). 

 b. Calculer \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) \] puis donner une interprétation géométrique du résultat. 

 4. Étudier la dérivabilité de \( f \) à droite de \( 0 \), puis donner une interprétation géométrique du résultat. 

 5. Montrer que : \[ f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{x}} \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \right)^2 \] pour tout \( x \) de \( D_f \). 

 6. Dresser le tableau de variation de \( f \) sur \( D_f \). 

 7. Déduire le signe de la fonction \( f \) sur \( D_f \). 

 8. Déterminer (T), l’équation de la tangente de \( C_f \) au point \( x = \frac{1}{4} \). 

 9. Montrer que \( f \) admet sur \( ]0, 1[ \) une fonction réciproque \( f^{-1} \) sur l’intervalle \( J \) qu'on déterminera. 

 10. Calculer \( f(\frac{1}{4}) \), puis déduire la valeur de \(((f^{-1})')(-1)\). 

 11. Construire la tangente (T), la courbe \( C_f \), et la courbe représentative \( (C_f)^{-1} \) de la fonction \( f^{-1} \) dans le même repère.