تمرين نموذجي في الاعداد العقدية

الأعداد العقدية 

تمرين شامل في الأعداد العقدية - السنة الثانية بكالوريا  جميع الشعب العلمية 
إعداد: الأستاذ محسن العسري

التمرين

الجزء الأول: حل المعادلة العقدية

حل في المجموعة $\mathbb{C}$ المعادلة:

$$Z^2 - 6Z + 25 = 0$$

الجزء الثاني: المستوى العقدي

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم، نعتبر النقط $A, B, C, D$ التي ألحاقها على التوالي:

• $a = 3 + 4i$
• $b = 5 + 6i$
• $c = 3 + 8i$
• $d = -1$

1. مثل النقط $A, B, C, D$ في المستوى العقدي.
2. حدد $\omega$، لحق النقطة $\Omega$ منتصف القطعة $[AC]$.
3. بيّن أن النقط $A, B, C$ تنتمي إلى الدائرة $(C)$ التي مركزها $Ω< /annotation>$ وشعاعها $r = 2$.
4. تحقق أن: $$\vec{AD} = -2 \cdot \vec{AB}$$
5. تحقق أن: $$b - d = \frac{3}{2}(a - d)$$ واستنتج أن النقط $A, B, D$ مستقيمية.
6. حدد $e$، لحق النقطة $E$ ليكون الرباعي $ACEB$ متوازي الأضلاع.
7. أكتب الأعداد العقدية التالية على الشكل المثلثي: 

الجزء الثالث: الزوايا والمعايير

1. تحقق أن: $$(d + i)^4 = -4$$
2. حدد قياس الزاوية بين المتجهتين $\vec{AC}$ و$\vec{AD}$.
3. حدد معيار وعمدة العدد العقدي: $$\frac{b - c}{a - c}$$ واستنتج قياس الزاوية بين المتجهتين $\vec{CA}$ و$\vec{CB}$، ثم بين أن $CA = \sqrt{2} CB$.

الجزء الرابع: المسافات وطبيعة المثلث

1. أحسب المسافات $AB, AC, BC$، واستنتج طبيعة المثلث $ABC$.
2. تحقق من أن: $$a - b = i(c - b)$$ واستنتج من جديد طبيعة المثلث $ABC$.

الجزء الخامس: مجموعات النقط والتحقق من مربعية الرباعي

1. حدد مجموعة النقط $M(Z)$ بحيث: $$|Z - (3 + 4i)| = |Z + 1|$$
2. حدد مجموعة النقط $M(Z)$ بحيث: $$|\overline{Z} - (5 - 6i)| = |a|$$
3. لتكن النقطة $F$ ذات اللحق $f = 1 + 6i$، تحقق أن الرباعي $ABCF$ مربع.