إمتحانات وطنية خاصة بالأعداد العقدية الجزء 1 

المستوى : السنة الثانية بكالوريا جميع الشعب العلمية 

إعداد وتجميع : الأستاذ العسري محسن 

السنة الدراسية : 2025-2024

 التمرين رقم 1 : الدورة الاستدراكية 2019 - الأعداد العقدية

1) حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة التالية:

$$z^2 - 3z + 3 = 0$$

2) نضع

$$a = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$$

اكتب العدد $a$ على الشكل المثلثي.

3) نعتبر العدد العقدي

$$b = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)$$

تحقق أن:

$$b^2 = i$$

4) نضع

$$h = \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12}$$

بين أن:

$$h^4 + 1 = a$$

5) في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر:

• نعتبر الدوران $R$ الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi}{2}$.
• النقطة $B$ لاحقتها $b$.
• ليكن c لحق النقطة $C$ النقطة صورة النقطة $B$ بالدوران $R$.

بين أن:

$$c = ib$$

ثم استنتج طبيعة المثلث $OBC$.

 التمرين رقم 2 : الدورة الاستدراكية 2017 - الأعداد العقدية

1) حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة التالية:

$$z^2 + 4z + 8 = 0$$

2) في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O, e_1, e_2)$،

نعتبر النقاط $A$، $B$، و $C$ التي لاحقاتها على التوالي هي:

$$a = -2 + 2i, \quad b = 4 - 4i, \quad c = 4 + 8i$$

أ- ليكن $z$ لحق النقطة $M$ من المستوى، و $z'$ لحق النقطة $M'$ التي تمثل صورة النقطة $M$ بالدوران $R$ الذي مركزه  A وزاويته $-\frac{\pi}{2}$.

بين أن:

$$z' = -i z - 4$$

ب- تحقق من أن النقطة B هي صورة النقطة C بالدوران $R$.

استنتج طبيعة المثلث $ABC$.

3) ليكن ω لحق النقطة  Ω منتصف القطعة [BC]

أ-بين أن:

$$|c - \omega| = 6$$

$$|z - \omega| = 6$$

هي الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$.

 التمرين رقم 3 : الدورة الاستدراكية 2020 - الأعداد العقدية

1) حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة التالية:

$$z^2 + \sqrt{2}z + i = 0$$

2) نضع

$$a = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

أ- اكتب العدد $a$ على الشكل المثلثي 

استنتج أن 

$a^{2020}$ عدد حقيقي

ب- نعتبر العدد العقدي

$$b = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$$

بين أن:

$$b^2 = a$$

3) في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O, e_1, e_2)$:

• النقاط $A, B, C$ الحاقها على التوالي هي a وb وc بحيث  ,c=1

• نعتبر الدوران $R$ الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi}{8}$.

•  ليكن z لحق $M$ نقطة من المستوى  و 'z لحق النقطة 'M صورة النقطة M بالدوران R

$$z\text{'}=\mathrm{bz}$$

ب- حدد صورة  النقطة $C$  بالدوران $R$. وبين أن النقطة  A هي صورة النقطة B بالدوران R

 التمرين رقم 4 : الدورة العادية 2017 - الأعداد العقدية

1) نعتبر العددين العقديين $a$ و $b$ بحيث:

$$a = \sqrt{3} + i$$ $$b=\sqrt{3}-1+(\sqrt{3}+1)i$$

$$a = 3 + i, \quad b = 3 - 1 + i(3 + 1)$$

أ- تحقق من أن:

$$b=(1+i)a$$

ب- استنتج أن:

ج- استنتج مما سبق أن:

2) في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O, e_1, e_2)$:

النقاط $A, B, C$ لاحقاتها على التوالي هي: $a$ و $b$، والنقطة $C$ التي لحقها $c$ بحيث:

$$c=-1+i\sqrt{3}$$

أ- تحقق أن:

$$c=ia$$

ثم استنتج أن:

ب-بين أن النقطة $B$ هي صورة النقطة $A$ بالإزاحة $T$ ذات المتجهة OC

ج-استنتج أن الرباعي $OABC$ مربع.